[수학/기본기] 내가 보려고 정리한 50일 수학 정리 / 정승제쌤 감사합니다!! (2024)

본문 기타 기능

50일 수학 (상)

• 다항식

• 복소수

• 방정식

• 부등식

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50일 수학 (하)

• 함수

• 도형 (논증기하 - 도형 자체를 탐구)

• 도형의 방정식 (해석기하 - 도형 자체를 방정식 형태로 좌표 평면상에서 탐구)

• 약수

- 어떤 정수를 나누어 떨어지게 하는 0이 아닌 정수 = 어떤 수를 소수의 곱 형태로 나타냈을 때(소인수분해) 소수들의 조합

ex) 4의 약수 = 1, 2, 4

• 공약수

- 두 수의 공통인 약수

• 최대공약수

- 두 수의 공약수 중 가장 큰 수

약수 개수 구하는 방법

-> 어떤 수를 소인수분해 한 뒤 해당 인수들을 곱의법칙으로 곱하면 약수의 개수를 알 수 있음

공약수 구하는 방법

-> 어떤 두 수의 공약수를 모두 구해야 하면, 두 수의 최대공약수를 구한 뒤 최대공약수의 약수를 계산하면 공약수가 됨

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• 서로소

- 1 이외에는 공약수가 없는 두개의 수를 서로소 관계라고 함 = 최대공약수가 1인 수

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• 소수(소쑤)

- 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수

ex) 3의 약수 = 1, 3 이므로 3은 소수

ex) 1,3,5,7,11,13,17,19 ....

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• 합성수

- 소수들을 곱해서 만들어진 수

ex) 12 = 2 x 2 x 3

12는 소수인 2, 2, 3이 곱해져서 만들어진 합성수

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• 인수분해

- 수를 곱꼴로 분해하는 것

ex) 12 = 2 x 2 x 3

ex) 12 = 4 x 3

12 를 인수분해 하면 위와 같이 곱 꼴로 나타낼 수 있음

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• 소인수분해

- 소수들로만 이루어지도록 인수분해 하는 것 = 더이상 쪼개질 수 없음

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• 배수

- 어떤수를 1배, 2배 3배 ... 처럼 곱해서 나올 수 있는 수

• 공배수

- 두 수의 공통인 배수

• 최소공배수

- 두 수의 공배수 중 가장 작은 수

공배수 구하는 방법

-> 최소공배수의 배수가 공배수가 됨

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• 약분

- 분모와 분자를 공약수로 나누어 간단히 하는 것

• 기약분수

- 분모와 분자의 공약수가 1뿐인 분수 / = 분자와 분모가 서로소인 상태 / 약분이 모두 끝난 상태의 분수

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• 통분

- 분모를 같은 값으로 만드는 것

- 통분은 분모들의 최소공배수가 되도록 만들어주면 됨

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• 역수

- 곱해서 1이 되는 수 / 분수의 분자, 분모를 바꿔주면 됨

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• 번분수

- 분자와 분모가 모두 분수인 수

- 번분수에서는 각각 분자끼리, 분모끼리 약분이 가능함

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• 전개

- 단항식을 다항식의 형태로 만드는 것

• 인수분해

- 곱꼴로 나타내는 것 (= 전개의 반대, 공통인수를 뽑아내야 함)

• 자연수 A, B 에 대한 최대공약수, 최소공배수 공식!

위 곱셈공식을 반대로 생각하면 인수분해에 적용할 수 있음

• 맨 앞과 뒤가 제곱의 형태라면 완전제곱식인지 의심해보기!

• 이차항의 계수가 1이고 완전제곱식이라면 상수항은 일차항의 계수의 반의 제곱이다. / = 일차항의 계수는 상수항에 루트씌우고 두배한 값이다.

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세제곱의 합 인수분해

(세제곱 지우고)(앞에거 제곱, 곱해서 부호 바꾸고, 뒤에거 제곱) 의 꼴로 나타남

-> 반대로 인수분해된 모습을 보고 세제곱의 합, 세제곱의 차 꼴로 나타낼 수 있어야 함!

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1. 제곱의 합 공식 (2개 항)

2. 제곱의 합 공식 (3개 항)

3. 세제곱의 합 공식

4. 합차곱 공식

5. 역수의 합 공식(지수 2배 공식, 지수 3배 공식)

위 x의 역수의 합 모양에서 지수가 2배가 되면 t제곱 -2 로, 지수가 3배가 되면 t세제곱 -3t 로 표현할 수 있음

(역수의 합 모양의 값을 주고 지수 2배, 3배 한 역수의 합 값을 구하라는 문제에 사용 가능)

• 가장 높은 차수의 계수를 맞춰주며 나누기

• f(x) / a 일 때, f(x) = a * 몫 + 나머지 로 생각할 수 있음 (어떤 다항식을 나눈 값과 몫, 나머지를 알려주고 원래 다항식을 구하게 하는 문제)​​

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• 방정식

미지수(x)가 포함된 등호로 연결된 수식, 방정식이 참이 되는 x 값이 한정되어있다

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• 항등식

두 수식이 등호로 연결된 모습으로, 항등식에서는 x, y에 어떤 값을 대입하든 좌변과 우변의 값이 같음 (=항상 등식이 성립한다)

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• 항등식을 의미하는 단어들

모든 x 에 ~~

임의의 x 에 ~~

x에 관계없이 ~~

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• 항등식을 푸는 방법 3가지

계수비교법 - 계수를 비교함으로써 계산 (= 등호 앞 뒤의 모양이 비슷할때 사용)

수치대입법 - x나 y의 값에 특정 값을 대입해서 나온 값으로 계산 (= 대입을 통해 값을 많이 지울 수 있을 때, 괄호가 많아서 복잡할 때 사용)

내림차순법 - 모든 값을 좌변으로 넘겨준 뒤 내림차순으로 정리해서 각 계수가 0 이 되는 값을 구해서 계산 (= 내림차순 정리가 되어있을 때 사용)

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+ 나머지의 차수는 나누는 값의 차수보다 낮다 (ex_나누는 값이 2차면 나머지는 1차 이거나 상수)

+ 몫의 차수는 나머지보다 높거나 낮을 수 있다

A를 인수로 갖는다 = A로 나누어떨어진다 = A로 나누었을 때 나머지가 0이다

F(x)를 나누는 1차식의 값을 0으로 만드는 값을 x에 대입했을 때, 나누는 값과 몫은 0이 되어 사라지게 되고 F(대입한 값) = 나머지 가 됨

예를들어 위 식에서 x의 값에 -b/a 를 대입하면 두번째 식처럼 되는데, 이때 우변에는 일차항과 몫은 0이되어 사라지고 나머지 r만 남게 됨

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나머지정리 결론 - 원래 식을 일차식으로 나눈 나머지는 일차식을 0으로 만드는 x 값을 원래 식에 대입한 값이랑 일치한다.

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2차식, 3차식으로 나눈 나머지를 구해야 할 때에는 항등식을 세워야 함!

다항식의 나눗셈에서 어떤 다항식을 일차식으로 나눴을 때 몫과 나머지를 빠르게 구하는 방법

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1. 조립제법 일차항의 계수가 1일 때

나눌 다항식의 계수만을 우측에 작성하고,

나눌 일차식을 0으로 만드는 x 의 값을 좌측에 적어주면 됨 (x 의 계수가 1일때 기준)

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2. 조립제법 일차항의 계수가 1이 아닐 때 ( -> 몫의 보정이 필요함 )

위 일차항의 계수가 1일때와 동일하게

나눌 일차식을 0으로 만드는 x 의 값을 좌측에 적고 조림제법 실시 해주면,

나머지는 그대로고 몫에는 계수의 역수를 곱해주면 됨

• 위와 같은 인수분해 문제의 경우 공통부분이 안보임

- 이때, 상수항의 합이 같아지도록 묶어서 전개해주면 상수항을 제외한 부분이 같아지며 치환할 수 있는 모습이 됨 (x의제곱+x 를 치환하면 됨)

• 복이차식의 인수분해

복이차식의 인수분해가 한번에 되지 않을 때, 완전제곱식 형태로 바꿔주어야함 (어려운 문제의 경우임, 쉬운 경우 단순 치환만으로 인수분해 가능!)

- 상수항에 루트 x 2 를 이차식(=가운데 항)에 넣어주기 (이때, 가운데 항 부호를 -로 할지, +로 할지를 생각해야함!)

- 상수항 뒤에 원래 이차항이 될 수 있도록 이차항 추가해주기

- 제곱 - 제곱 의 형태로 만들어서 합과차 공식으로 인수분해

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• 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해 = 완전제곱식이 아닌 삼차식의 인수분해

• x의 값에 수를 대입해서 삼차식 = 0 꼴로 나타낼 수 있을 때,

- 인수정리를 사용해서 해당 삼차식의 인수를 알 수 있게 됨 (x=1 일때 0이 되면, 삼차식의 인수는 x-1)

- 삼차식 = (인수)x(다른인수) 의 항등식 꼴로 나타낼 수 있는데, 이때 삼차식을 (인수)로 나눈 값이 (다른인수) 임

- (인수)가 1차식이라면 조립제법 사용! 아니면 나누기!

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• 위 예시 문제를 풀려면...

- 완전제곱식의 형태가 아닌 3차식을 인수분해하려면 위 x 의 값에 무작위로 1, -1, 2, -2 등의 값을 대입해서 0이 되는 경우의 수를 찾아야함.

- 위 식에서는 1을 대입하면 계산한 값이 0이 되기 때문에 이때 위 다항식은 (x-1)로 나눴을 때, 나누어 떨어지게 된다는것을 알 수 있음

- 위 다항식을 (x-1) 로 나눠준 몫을 추가로 인수분해 해주면 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해 완료!

• 차수가 낮은것을 기준으로 내림차순 정렬하면 쉽게 풀 수 있음

- 내림차순 정렬 후 치환 or 인수분해 가 가능해짐

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다항식 끝!!

• 유리수

- 분수의 꼴로 나타낼 수 있는 수

• 유한소수

- 더이상 약분되지 않는 기약분수의 형태에서 분모가 2, 5 로 만 이루어짐짐

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• 무한소수

• 순환소수 (=유리수에 포함)

- 같은 숫자가 반복, 순환되는 무한소수

- 더이상 약분되지 않은 기약분수의 형태에서 분모에 2, 5 말고 다른 수가 있음

• 무리수

- 순환하지 않는 무한소수

- ex) 파이, 루트2 등등..

• 순환소수 -> 분수

- 소수점에 있는 순환마디의 개수만큼 분모에 9를 넣어주고 순환하지 않는 수 만큼 뒤에 0 을 붙여줌

- 분자에 순환소수의 값을 소수점 없이 적어준 뒤 순환하지 않는 수를 빼주기

• 루트

- 어떤 수를 제곱했을때의 수

ex)제곱근 16 = 루트 16 = 4

16의 제곱근 -> x제곱 = 16 (2차방정식이라 근이 2개) -> +4, -4

-> 이때 +4 는 16의 양의 제곱근, -4는 16의 음의 제곱근 이라고 부름

- 루트 전체를 제곱하면 안의 수가 그대로 나오게 됨 (=안에서의 제곱은 절대값과 같음), 내부에서 제곱한것과 다름

- 제곱의 루트 에서 내부의 값이 음수라면 마이너스를 붙이고 나오게 됨 (= 절대값)

• 분모의 항이 1개인 경우

- 분모의 무리수를 분모, 분자에 각각 곱해줌으로 해결

• 분모의 항이 2개인 경우

- 합과차 곱셈공식을 이용해서 제거하기

• 실수

- 제곱했을 때 0 이상인 수

• 허수

- 실수가 아닌 수

- 제곱했을 때 0 미만인 수 = 루트 안에 음수가 들어있을 때에는 허수임

- 허수단위 = 루트-1 = i

- i의 제곱 = -1 / i의 3제곱 = -i / i의 4제곱 = 1 / i의 5제곱 = i

- i의 제곱은 위 -1, -i, 1, i 가 계속 반복 됨, 이때 제곱의 수가 4의 배수는 1이라고 생각하기 = i의 지수는 4로 나눈 나머지로 바꿀 수 있음

- 허수는 크기 비교가 불가능 함 (같다, 같지않다만 판별 가능)

> 지수가 연속된 정수 4묶음이면 0이다

> i의 지수는 4로 나눈 나머지로 바꿀 수 있다

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• 복소수

- 모든 복소수는 실수 + 실수i 의 형태로 나타낼 수 있다

ex) a + bi 의 형태로 나타내 짐 -> a 는 실수부, b 는 허수부 (단, a, b 는 실수)

- 순허수 -> a=0, b!=0

- 허수 -> b!=0

- 실수 -> b=0

- 복소수의 허수부 부호를 바꾸면 켤레복소수가 되며 위에 바(-) 를 붙여서 표현

- 복소수, 켤레복소수의 합과 곱은 모두 실수가 됨

- 위 켤레복소수의 곱 성질을 이용해서 분모를 실수화 해줄 수 있음 (켤레복소수의 곱은 실수이다)

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복소수 끝!!

• 연립방정식의 풀이 방법 3가지

- 가감법 - 두 연립방정식을 더하거나 빼서 미지수를 소거한 뒤 계산

- 대입법 - 하나의 미지수 = ~~ 꼴로 정리한 뒤 다른 연립방정식에 대입해서 계산

- 등치법 - 대입법의 일종이라 볼 수 있음, y= ~~, y=~~ 꼴로 두 연립방정식이 있을 때 ~~ = ~~ 로 바꿔서 계산

• 이차방정식의 풀이 방법 두가지

- 인수분해

- 완전제곱식 (근의공식)

-> 이차항 계수가 1인 완전제곱식에 상수항 = 일차항 계수의 반의 제곱

- 위 공식을 이용해서 인수분해 되지 않는 이차방정식을 완전제곱식 + 상수항 의 형태로 고쳐준 뒤 항을 넘기고 루트를 씌워서 제곱을 없에고 나머지 상수를 넘기는 식으로 이차방정식을 풀 수도 있음

• 근의공식

- 이차항의 계수가 1이 아니면서 인수분해가 되지 않을 때, 이차항의 계수로 묶어낸 뒤 위 완전제곱식을 이용하는 전개 방식을 사용하여 정리하게 되는데, 식이 복잡해지기 때문에 근의 공식을 통해 공식화해서 빠르게 문제를 풀 수 있음

• 허근

- 위 근의 공식에서 루트 안 b제곱-4ac 가 음수가 된다면 루트의 내용물이 허수가 되기 때문에 서로 다른 두 허근을 가진다고 함

• 실근

- b제곱-4ac 가 0보다 클 때, 서로 다른 두 실근을 가진다고 함

- 이때, b제곱-4ac가 0이라면 중근을 가진다고 함 (= 두 근은 같은 값을 가진다)

- 결국 위 b제곱-4ac 가 허근, 실근, 중근을 구별하는 판별식이 됨

- b의 값이 짝수일 때, b를 2b' 으로 대체하여 근의공식을 사용하게 되면 약분이 되어서 위와 같은 공식이 나오게 됨

- 판별식으로 b'제곱-ac 를 사용할 수도 있음, 이때 기존 판별식과 4배 차이나게 됨

• 두근의 합과 두근의 곱

- 근의공식을 사용해서 두근의 합과 두근의 곱을 정리했을 때, 위와 같이 a, b, c인 계수와 상수의 값만으로 두근의 합, 곱을 찾을 수 있음

• 이차방정식 만들기

- 위 두근의 합과 두근의 곱에 대한 공식을 반대로 적용해서 두 근의 합으로 일차항의 계수를, 두 근의 곱으로 상수항을 구하여 이차방정식을 만들 수 있음

• 유리계수 이차방정식

- 한 근에 루트가 들어있으면 나머지 한 근은 루트항의 부호를 반대로 한 것임

• 실계수 이차방정식

- 한 근에 i(허수) 가 들어있다면 나머지 한 근은 켤레복소수가 됨

• 근의 부호

- 위 두 근의 양근, 음근 여부는 판별식, 합, 곱 3가지의 부호에 따라 판단할 수 있음

- 두근이 서로 다른 부호를 가진다면, 두 근의 곱이 음수여야 하기 때문에 k 값의 범위는 근과 계수와의 관계를 통해서 근의 곱의 값인 (k-1)/2 이 0보다 작아야함

- (k-1)/2 <0 = k < 1

- 두근의 부호가 다르다면 두 근의 곱은 0보다 작아야 함

- 음의 근의 절대값이 양의 근보다 크다면 두 근의 합은 0보다 작아야 함

- 두근의 곱에서 알 수 있는 a의 범위는 a<3

- 두근의 합에서 알 수 있는 a의 범위는 a>0

- 정수 a 의 개수는 1, 2 로 2개

- 3차방정식에서 3개의 근을 각각 알파(α), 베타(β), 감마(γ)로 생각했을 때, 각 계수와의 관계는 위와 같음 (전개해서 정리하면 위와 같이 나오게 됨)

- 3차방정식은 근의 값이 3개인데 2개만 제시해주었으니 3차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 나머지 한 근의 값을 구할 수 있음

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• 위 3차방정식의 한 허근을 ω 로 뒀을 때, 다른 한 근은 켤레 복소수 관계이면서 역수 관계, 제곱 관계임

- 복소수 관계(두근의 곱인 -a/c=1)

- 역수 관계(두근의 곱 = 1)

- 제곱 관계(방정식에 ω 대입 시 ω^3 = 1, ω^2 x ω = 1)

- 지수는 3으로 나눈 나머지로 바꿀 수 있음 (ω^3 = 1 에서 양변에 정수n 을 곱하면 지수는 3의 배수로 늘어나지만 1은 그대로 1이 유지됨)

- 연속된 3개의 지수의 합은 0임 (ω^3+ω^4+ω^5 를 ω^3 으로 묶으면 ω^3(1+ω+ω^2) 이 되고 여기서 3차방정식의 인수가 1+ω+ω^2 = 0 이라서 연속된 3개 지수의 합은 0이 됨)

• 일차방정식, 이차방정식 이 제공되는 연립이차방정식

- 일차방정식을 정리해서 이차방정식에 대입하는 방식으로 풀이, 최종적으로 두 쌍의 해를 가지게 됨

• 이차방정식이 2개 제공되는 연립이차방정식

- 이차방정식 중 하나를 인수분해하면 일차방정식 근이 2개 나오게 되는데, 이거를 각각 이차방정식에 대입해서 풀이, 최종적으로 네 쌍의 해를 가지게 됨

- 부정방정식은 무수히 많은 해가 나올 수 있기 때문에 (단 x,y는 정수이다) 같은 조건이 함께 주어짐

- 좌변은 곱, 우변은 상수항 형태로 만들어 준 뒤 조건에 맞게 값을 대입하여 풀이 가능

방정식 끝!!

- 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향을 바꿔야 함

- 절대값의 부등식이 있을 때 반대편에 부호바꾼 값을 적어주고 절대값을 풀어주면 절대값의 부등식을 풀 수 있음

- 연립부등식의 경우 해가 1개인 경우, 해가 없는 경우가 발생될 수 있음

- 실수의 제곱은 항상 0 이상이다 는 성질을 이용해서 a,b 가 실수일 때, 위와 같은 상황에서 절대부등식임을 증명할 수 있음

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- x, y가 양수일 때 / = 산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 같다

• 산술평균

- 두 수를 더한 후 2로 나눈 값

• 기하평균

- 두 수를 곱한 후 루트를 씌운 값

- 두 양수의 합은 두 양수의 곱에 루트 씌운 것에 두배보다 크거나 같다

- 양수의 합(산술평균) / 양수의 곱에 루트 x 2(기하평균)

-> 합의 최솟값, 곱의 최댓값 을 구할 때 사용 (= 곱이 주어지고 합의 최솟값을 구할때, 합이 주어지고 곱의 최댓값을 구할 때 사용)

- x, y 두 수가 양수일때에만 성립함

- 양수라는 조건과 크기비교를 물어보면? 산술기하 떠올리기!

- 양수라는 조건과 최대, 최소를 물어보면? 산술기하 떠올리기!

- 앞쪽을 x-1 로 만들어주고 뒤에 +1 을 추가로 만들어서 분모와 동일한 모양을 만들어준 뒤, 뒤에 +1 을 제외한 앞쪽 두개 항을 통해서 최솟값을 구해준다

- x-1로 통분이 되기 때문에 최솟값은 4임을 쉽게 구할 수 있음, 그러고 뒤에 남아있는 +1을 더해주면 최솟값은 5가 됨

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부등식 끝!! 50일 수학(상) 끝!!

- 모든 정의역이 각각 한개의 공역으로 이어져 있어야 함 (치역 = 정의역에서 공역으로 이어진 값들)

• 정비례 관계 (= 일차함수)

- x,y 가 비례 관계인 것

• 반비례 관계

- x,y 가 반비례 관계인 것

- 세로선을 그렸을 때, 2개의 점에서 만난다면 함수가 아님

- 일차함수의 그래프를 그렸을 때, 직선이 됨

- x의 계수는 기울기가 됨 (기울기 = 높이/밑변) (= y증가량/x증가량)

- 기울기와 지나는 점의 좌표를 알면 일차함수식(직선의 방정식)을 알 수 있음

- 좌표평면 위에 그렸을 때, 오른쪽이 올라간다면 기울기는 양수, 내려간다면 음수

- x,y 사이의 관계식

- 좌표평면 위의 어떤 도형의 방정식

-> 직선의 방정식(1차함수식), 포물선의 방정식(2차함수식), 원의 방정식 등등

- 모든 방정식은 두가지 조건이 주어지면 방정식을 찾아낼 수 있음

- 절편 = 직선이 절편 축과 만나는 지점의 값 = 절편 축과의 교점을 연립방정식을 통해서 찾는 것 = y절편은 x가 0일때의 방정식과의 교점을 찾는 것이라 x의 값에 0을 대입하면 y 절편임

-> 위 1차함수 형태에서 a는 기울기, b는 y절편이 됨

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- 기울기 = -a/b , y 절편 = -c/b

- 위 일반형을 y=x에대한방정식 으로 나타내면 기울기와 절편을 알 수 있음

- 두 함수의 교점을 찾는 것

- 연립방정식의 해 = 두 함수 교점의 좌표

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• 점의 평행이동

- 이동하는 수만큼 각각 x, y 좌표에 더해주면 됨

• 그래프의 평행이동

- 이동하는 수만큼 각각 x, y 값에 -(빼기) 해주면 됨

- 이차항의 계수(a)가 양수면 아래로 볼록, 음수면 위로 볼록하게 그래프가 그려짐

- 계수의 절대값이 클수록 뾰족해지고, 작을수록 완만해짐

- 대칭축 _ 꼭지점을 지나면서 y축과 평행한 축(대칭축)을 기준으로 좌우가 대칭임

-> 대칭축의 방정식의 경우 'x = 꼭지점의 x 좌표' 로 표현할 수 있음

- 위 표준형 형태의 2차함수에서는 (h,k) 가 꼭지점의 좌표가 됨

• 최댓값과 최솟값 구하기

- 이차함수가 위처럼 일반 형태로 내림차순 전개 되어 있을 때, 꼭지점의 x 좌표는 위 공식으로 구할 수 있음

- 꼭짓점의 x 좌표를 구하면 해당 값을 대입해서 y 좌표도 구할 수 있음

- 함수, 방정식, 부등식 은 각각 이동이 가능함

- 방정식 문제를 함수로 고쳐서

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• 이차방정식을 함수 해석하기

- 좌변, 우변에다가 'y =' 을 붙여서 표현할 수 있음

- 방정식에서의 실근 = 함수에서의 교점

- 함수에서 교점이 없다 = 허근을 갖는다 = 판별식 D가 0보다 작다

-> 함수에서 방정식으로 고친 뒤 문제를 풀기

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• 일대일 함수

- 일대일로 이어지는 함수

• 일대일 대응

- 일대일로 이어지면서 공역과 치역이 동일한 함수 (일대일로 이어지더라도 공역에 다른 값이 있으면 일대일 함수임)

• 항등함수

- y과 x 의 값이 항상 같은 함수

• 상수함수

- y값이 변하지 않는 함수 (= 모든 x값에 동일한 y 값 = x축에 평행한 그래프)

​

​

- 예시1 _ g(x)의 값을 f(x) 함수 안에 대입하는 것

- 예시2 _ f(x)의 값을 g(x) 함수 안에 대입하는 것

- 위 예시에서 알 수 있듯 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않음

• 역함수의 조건, 일대일대응

- 이차함수의 경우 2개의 정의역에서 같은 치역의 값이 존재할 수 있기 때문에 역함수가 없음

- 일차함수의 경우 일대일대응을 만족하기 때문에 역함수가 존재함

- x를 y로, y를 x로 치환해서 다시 y=~~ 꼴로 나타내면 역함수가 됨

- 기존 함수를 역함수와 합성함수 형태로 나타내면, 기존함수에 x 값을 그대로 뱉어냄

-> 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않지만, 역함수의 합성함수는 두개의 순서가 바뀌어도 성립함

= 자기 자신과 역함수와 합성하면, 항등함수가 됨

-> 역함수는 y=x 에 대해서 대칭한다 (= x,y 좌표가 서로 바뀐 것 = 좌표평면에서 x,y 축을 바꿔주면 역함수의 그래프로 볼 수 있음 = 상승함수의 경우 역함수와의 교점은 y=x 와의 교점과 동일하다)​

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- 약분이 다 된 상태에서 분모에 x 가 들어있는 함수

- 분자가 양수이면 1,3사분면 / 음수이면 2,4 사분면을 지나는 그래프가 그려짐

- 점근선의 교점은 분모를 0으로 만드는 x 값, 상수항 이 됨

- 위와 같이 일반형으로 주어졌을 때에는 분자를 분모로 나누면 표준형으로 바꿀 수 있음

- 일반형 상태에서 -d/c 는 점근선의 x 좌표, a/c 는 점근선의 y 좌표 임

- 예를들어 위 분수함수에서 점근선의 좌표는 (-6,2)

​

- 분수함수의 역함수는 분수함수​

​

- 무리식 = 루트 안에 x 가 들어있는 것

- 무리함수는 4가지 패턴의 그래프를 가짐

-> 시작점을 기준으로 4방향으로 뻗어가는 패턴

- b가 양수이면 그래프가 위로, 음수이면 아래로 향함

- a가 양수이면 그래프가 우측으로, 음수이면 좌측으로 향함

• 무리함수 평행이동

- 함수의 평행이동과 동일하게 x, y의 값에 각각 이동하는 수만큼 빼준 뒤 y=~~ 꼴로 정리하면 됨

- 루트 안 x의 계수가 모양을 정함

• 무리함수의 역함수

- x의 범위(정의역)가 들어있는 2차함수 (x의 범위는 기존 무리함수의 y의 치역의 범위 = y를 x로 바꿔주면 됨)

-> 이차함수 x의 정의역은 무리함수 y의 치역

-> 이차함수에 x의 범위가 주어진다면 역함수인 무리함수를 찾을 수 있음

​

함수 끝!!

- 삼각형 세 내각의 합은 180도 (평행하는 두 선 사이의 엇각 공식을 이용해서 확인할 수 있음 / 평행선 공식 - 엇각, 동위각, 맞꼭지각)

- 사각형 네 내각의 합은 360도 (사각형은 꼭지점 두개를 이어서 항상 삼각형 2개로 나눌 수 있음 180+180=360)

- 오각형 다섯 내각의 합은 540도 (오각형은 삼각형 3개로 구성됨 180+180+180=540)

• 사다리꼴의 넓이 구하기

- 사다리꼴의 대각선 두 점을 이어서 두개의 삼각형으로 만들어 준 뒤 윗면과 아랫면의 길이, 높이 를 통해서 각각 넓이를 구해준 뒤 더해주면 됨, 그 식을 정리하면 (1/2 * 높이 * 윗면과아랫면의합) 으로 나타낼 수 있음

• 마름모의 넓이 구하기 (1/2 * 두대각선의길이의곱)

• 원

- 반지름 r

- 원주율 = 원주 / 지름(2r)

- 원주(원둘레) = 지름 x π = 2πr

- 원의넓이 = πr²

- 부채꼴

- 부채꼴의 넓이 공식 1 = 원의 넓이 x 중심각(θ)/360 = πr² x 중심각(θ)/360

- 부채꼴의 넓이 공식 2 = ½ x 반지름 x 호의 길이(l) = ½rl

- 부채꼴의 호 길이 = 원의 둘레(원주) x 중심각(θ)/360 = 2πr x 중심각(θ)/360

- 부채꼴의 현 길이 =

• 다면체

- 다각형인 면으로만 둘러쌓인 입체도형

• 정다면체

- 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체

- 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 5가지

• 각기둥

- 기둥 모양의 다면체, 밑면의 모양 + 기둥으로 부름 (ex, 오각기둥, 삼각기둥 ...)

• 각뿔

- 각기둥에서 한 밑면에 점을 찍어서 반대편 밑면의 꼭짓점과 이은 모양 / 넓이는 각기둥 넓이의 ⅓

• 원뿔

- 원뿔의 전개도를 이해할 수 있어야 함 - 원 + 부채꼴의 형태

- 부채꼴의 호의 길이 = 밑면 원의 둘레

- 원뿔의 넓이 = 원기둥 넓이의 ⅓

• 이등변삼각형

- 두 밑각의 크기는 같다

- 꼭지각에서 수선을 내리면 좌우 삼각형은 직각삼각형이며 합동이다

• 직각삼각형

- 합동조건 1 - RHS (R직각, H빗변, S면)

- 합동조건 2 - RHA (R직각, H빗변, A각)

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• 삼각형의 외접원 (삼각형의 외부에서 접하는 원)

- 외심 - 외접원의 중심

- 삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점

- 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있음

- 직각삼각형의 외심은 빗변의 중심

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• 삼각형의 내접원 (삼각형의 내부에서 접하는 원)

- 삼각형 세 내각의 이등분선의 교점

- 내접원의 반지름 구하기

- 각 변과 넓이가 주어지면 '½ x 밑변 x r = 삼각형의 넓이' 를 통해서 반지름 r을 알 수 있음

​

• 평행사변형

- 두 쌍의 대변이 평행함

- 대각선을 이어주면 합동인 삼각형 두개가 나옴

- 두 대각선을 이어주면 합동인 삼각형이 두쌍이 나옴

-> 직사각형, 마름모, 정사각형도 평행사변형의 성질에 각각 추가된 특성을 가짐

• 평행선

-

• 평행도형에서의 닮음

- 확대, 축소해서 서로 합동이 되는 관계

- 대응각은 동일하고 대응변의 길이의 비율은 모든 변에 같다

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• 삼각형의 닮음 조건

- SSS, SAS, AA 닮음

• 직각삼각형의 닮음 조건

- 직각의 점에서 수선의 발을 내렸을 때, 3개의 닮음 삼각형이 생기게 됨

• 삼각형의 이등분선

- 위 점에서 이등분선을 했을 때, 밑변의 점에서 양변에 수선의 발을 내리면 RHA 공식에 의해서 합동이 됨

- 좌, 우 삼각형의 넓이는 같기 때문에 a:b=c:d 가 됨

• 삼각형의 중점의 연결

- MN, BC 는 평행하며 2배 차이나게 됨

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• 중선

- 대변의 중심으로 이어진 선

• 무게중심 (G)

- 삼각형 세 중선의 교점

- 변의 중심이기 때문에 2a+b = 2c +b 이런식으로 넓이를 계산해서 풀어보면 a=b=c 가 나옴

- 삼각형의 무게중심은 중선을 2:1로 내분함

-> 증명 : 노란선을 기준으로 중선의 교점 비율을 구할 때, 넓이가 위쪽은 2, 아래쪽은 1이니 넓이의 비가 2:1 이고 밑변의 비도 2:1이 됨

​

• 닮은 도형의 넓이

- 길이의 비를 제곱하면 넓이의 비가 됨

- 길이의 비를 세제곱하면 부피의 비가 됨

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• 피타고라스 정리

- 한 각이 90도인 삼각형에서 대변의 길이를 구하는 공식

• 특수각에서의 피타고라스 정리

- 특수각 0, 30, 45, 60, 90 도를 의미함

- 특수각으로 이루어진 직각삼각형은 아래 2가지 경우의 특수각이 있는데 선의 길이가 각각 고정됨

- 세 각이 45, 45, 90 인 경우 -> 1 : 1 : 루트2 (직각이등변삼각형)

- 세 각이 30, 60, 90 인 경우 -> 1 : 루트3 : 2

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• 정삼각형에서 높이와 넓이를 구하는 방법

- 피타고라스 정리를 통해서 위와 같은 공식을 만들 수 있음

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• 직육면체의 대각선의 길이

• 직각삼각형의 삼각비

- 삼각비 - 직각삼각형의 세변 중 어느 두 변의 길이의 비

- 삼각형에서 빗변은 직각의 빗변이기에 변하지 않으나 밑변과 높이는 변할 수 있음 (상대적인 기준)

- sin 은 θ를 기준으로 직각으로 가는데 고개를 넘어서, cos 은 θ를 사이에 두고 빗변에서 출발하는 것, tan 는 θ를 기준으로 직각으로 바로 가는 것

- 위 예시에서 A를 θ 로 두었을 때,

- sinθ - a/b

- cosθ - c/b

- tanθ - a/c

-> sinθ / cosθ = tanθ -> sinθ를 cosθ 로 나누면 tanθ 가 됨

​

• 특수각의 삼각비의 값

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• tanθ 응용

- y=mx+n 일차함수의 그래프에서 함수와 x축 사이의 각도를 θ로 뒀을 때, 기울기 m = tanθ

- θ 의 각도만 가지고도 기울기를 구할 수 있어야 함 (ex, θ=60 이면 기울기 m = tan60 = 루트3)

​

• 두변의 길이와 끼인각 알 때, 삼각형의 넓이를 구하는 방법

- 점 C에서 변 c 로 수직이되도록 선을 그으면 높이 h가 되는데 이때, sinA = h/b 가 됨

- 삼각형의 넓이 구하는 공식에서 h 의 값에 sinA*b 를 대입하면 위와 같은 식으로 나타내 짐

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• 원의 접점과 접선

- 접선 - 접점에서 선을 그린 것 = 반지름과 수직이 됨​

​

• 원주각과 중심각의 크기

- 중심각은 원주각의 2배임

- 반원의 원주각은 90도 (중심각이 180도 이기 때문)

- 호의 길이는 원주각, 중심각의 크기와 비례한다

​

도형(논증기하) 끝!!

• 도형의방정식

- 도형 = 점들의 집합

- 도형의 방정식 = 도형을 구성하는 점들의 x,y 좌표 사이의 관계

​

• 방정식을 찾을 때 필요한 요소

- 직선의 방정식 - 기울기, 지나는 점

- 원의 방정식 - 중심, 반지름

- 2차함수 - 꼭짓점, 그래프 꼴

- 분수함수 - 점근선의 교점, 그래프 꼴

- 무리함수 - 시작점, 그래프 꼴

• 두 점 사이의 거리

- 루트(x좌표차이제곱+y좌표차이제곱) / 좌표 차이는 큰수에서 작은수를 빼면 되고, 수의 크기를 가늠할 수 없다면 한쪽을 빼준 뒤 절대값 처리하면 됨

​

• 외분점과 내분점

- 내분점 - 선분 A, B 를 3:2로 내분한다고 하면 선분 내부 A에서부터 3:2 비율로 내분하는 지점이 내분점의 위치가 됨

- 외분점 - 선분 A, B 를 3:2로 내분한다고 하면 A점에서 선분 외부에 외분점까지 3, B점에서 외분점까지가 2의 비율로 외분하는 것임

​

• 중점의 좌표

- 중점은 평균이라 생각하면 됨 (=1:1로 내분한다)

​

• 삼각형 무게중심의 좌표

- 무게중심의 좌표도 평균이라 생각하면 됨

​

• 직선의 기울기

- 기울기의 절대값 = 밑변분의 높이(기울기 = 높이/밑변) (= y증가량/x증가량)

​​

​

- 기울기 = -a/b , y 절편 = -c/b

- 위 일반형을 y=x에대한방정식 으로 나타내면 기울기와 절편을 알 수 있음

- 위 예시 처럼 기울기와 지나는점의 좌표가 주어졌을 때, 일차함수 일반형의 형태로 바로 만들 줄 알아야 함

-> 분자에 x 부호 바꿔서 작성하고 분모에 y ~~ = 0 꼴까지 만든 다음, 지나는점의 좌표를 대입해서 계산하여 상수 값 찾아내기

​

• 한 점에서 만난다

- 기울기가 다르다,

• 만나지않는다 (=평행)

- 기울기가 같다, 연립방정식의 해가 없다

• 무수히많은 점에서 만난다 (=일치)

- 기울기가 같으면서 y절편도 같다, 연립방정식의 해가 무수히 많다

- 직선의 기울기에 역수에 - 를 붙이면 수직인 직선의 기울기가 됨

- 기울기가 m 이라면 수직인 직선의 기울기는 -1/m

- 두 직선의 방정식의 x, y 의 계수를 각각 곱해서 합했을 때, 0이되면 두 직선은 수직임 (기울기의 역수에 부호가 바뀌는게 수직인 직선의 기울기이기 때문)

- 주어진 직선에 수직인 직선을, 기울기의 역수에 - 붙이기를 통해서 수직인 직선의 기울기를 찾아서 만들어준 뒤, 두 방정식을 연립방정식으로 교점을 찾아내고, 교점과 주어진 점 사이의 거리를 루트 x증가량제곱+y증가량제곱 을 통해서 구해주면 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있음

- 위 내용을 공식화 하면 위와 같음, 직선의 방정식(ax+by+c=0)과 점의 좌표(m,n)가 있을 때, 점과 직선의 거리 = 절대값(am+bn+c)/루트(a제곱+b제곱)

- 공식 대입해서 구하기 상당히 복잡하고 어려움... 그냥 외우기 ㄱㄱ

- 두 직선 사이의 거리는 기울기가 같으면서 일치하지 않는 경우임, 이때 두 직선 사이의 거리를 구하려면 한 직선의 방정식에서 임의의 점의 좌표를 구한 뒤 위 해당 점의 좌표(점)과 직선 사이의 거리 공식을 사용해서 풀면 됨

- 점 (a,6) 을 해당 직선에 대입해서 a의 값을 구해주면 됨 a = -2

- (-2,6) 과 두번째 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해서 풀어주면 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있음

- 두 점 사이의 거리 공식을 사용해서 (a,b) 를 중심으로 하는 원의 방정식은 위와 같이 표현할 수 있음

- x에관한완전제곱식 + y에관한완전제곱식 = 반지름의제곱

- 원의방정식을 보고 중점과 반지름을 구할 수 있어야 함

- 위 일반형에서 원의 중점과 반지름을 바로 찾아낼 수 있어야 함

- 직접 완전제곱식의 형태로 만들어도 됨

- 일차항의 계수의 반에 부호를 바꾼게 좌표가 되고, 좌표값의 제곱을 더하고 상수항을 빼주면 반지름의 제곱이 됨

- 위와 같이 계산했을 때, 반지름의 제곱의 값이 마이너스가 되면 허수이기 때문에 원의 방정식이 아님 (a,b 반의 제곱의 합이 c 보다 작으면 원이 아님, a,b 반의 제곱의 합이 c와 같으면 한 점으로 나타내짐)

• 두 점에서 만난다 (d<r)

- 중점과 직선과의 거리가 반지름보다 작을 때

• 한 점에서 만난다 (d=r)

- 중점과 직선과의 거리가 같을 때

• 만나지않는다 (d>r)

- 중점과 직선과의 거리가 반지름보다 클 때

​

- 이때, 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립방정식으로 푼 다음 판별식 D 를 이용해서 D>0 일때는 두 점에서 만나고, D=0 이면 한 점에서 만나고, D<0 이면 만나지 않는다 로 구할수도 있음

• 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식

- 원의 방정식과 접선의 기울기를 알 때, 접선의 방정식을 구할 수 있음

- 위 원과 직선의 위치 관계가 한 점에서 만날 때 기준으로(d=r) 찾아내면 됨, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해서 대입하여 풀이할 수 있음

​

• 접선의 좌표가 주어진 원의 접선의 방정식

- 원의 방정식과 접선의 접점의 좌표를 알 때, 접선의 방정식을 구할 수 있음

- 원의 중점과 (a,b) 를 지나는 직선의 방정식의 기울기를 구한 뒤 거기에 수직인 직선의 방정식의 기울기(기울기 역수에 부호 바꾼 것)를 구하면 원과 a,b에서의 접선의 방정식 기울기가 되고, 이때 접선의 방정식의 기울기와 (a,b)의 대입을 통해서 접선의 방정식을 1차적으로 유도해낸 뒤, 원의 방정식에 (a,b)를 대입해서 나온 방정식을 통해 직선의 방정식을 최종적으로 유도할 수 있음

​

• 원 밖의 한점에서 원에 그은 접선의 방정식

- 원 밖의 한 점과 원의 접점을 (a,b)로 두고 위 '접선의 좌표가 주어진 원의 접선의 방정식' 을 구하는 공식을 통해서 최종 식 하나를 도출하고, 이때 a,b 값을 알기 위해서 식 두개를 추가로 도출해야함. 원의 방정식에 (a,b)를 대입한 식 하나, 위에서 구해놓은 최종식에 주어진 원 밖의 점의 좌표를 대입해서 식 하나, 총 두개의 식을 연립방정식으로 a,b 값을 구할 수 있음

- 기울기를 m 미지수로 두고도 도출해낼 수 있으나, 원 밖의 한 점의 좌표(a,b) 를 미지수로 두고 풀이하는게 보통 더 편함

• 점의 평행이동

- x, y 좌표로 각각 m,n 만큼 점이 이동했다고 생각한다면, 좌표상으로 그대로 이동한 것이기 때문에 부호 그대로 m, n 값을 대입해서 더해주면 됨

​

​

• 함수의 평행이동

- 함수의 평행이동은 x,y 좌표가 X,Y 좌표로 각각 m, n만큼 이동한다고 생각했을때, X=x+m, Y=y+n 이라고 생각할 수 있음.

- 이때 y=f(x) 라는 기존 함수에 'X=x+m, Y=y+n' 를 'x=X-m, y=Y-n' 꼴로 수정한 x,y 값을 대입하면 평행이동한 함수의 그래프를 구할 수 있게 됨

​

​

해당 부등식에

등호가 있으면, 경계선을 포함한다

등호가 없으면, 경계선은 포함하지 않는다

​

• 범위 구하기

- 직선의 부등식 / 포물선의 부등식 (이차함수)

-> 방정식의 값보다 위의 점을 예로 들었을 때, 방정식을 계산한 값보다 y의 값이 클때, 방정식의 좌표보다 위에 있게 되기 때문에 부등식은 y 쪽이 크다로 나타낼 수 있음

= y를 기준으로 크다인 부등식이면 선의 위쪽, 작다인 부등식이면 선의 아래쪽 범위임

​

- 원의 부등식 (x²+y²=r²)

-> 원의 방정식이 원점에서 떨어진 거리가 r² 만큼 떨어진 점들이 모인 것임. 원 내부에 점은 x²+y² 의 값이 r²보다 작은 경우, 원 외부의 점은 반대로 큰 경우로 생각할 수 있음

= x²+y² < r² 의 경우 원 내부, x²+y² > r²의 경우 원 외부 범위임

​

• 곱꼴의 부등식 범위 구하기 (두 개 이상 다항식의 곱으로 표현된 부등식의 영역)

1. 경계선 그리기

2. 경계선 위에 있지않은 아무점의 좌표 대입해서 부등호가 성립하는지 확인하기

-> 성립하면 해당 점이 있는 부분과, 그 이웃한 부분은 비우고 2칸 건너뛴 부분, 들을 색칠해주면 그부분이 곱꼴이 성립하는 범위가 됨

-> 성립하지 않으면 해당 점이 있는 부분과 이웃한 부분과, 2칸 건너뛴 부분, 들을 색칠해주면 그부분이 곱꼴이 성립하는 범위가 됨

​

- x+y 의 최대값을 구하려면 x+y=k 의 꼴로 바꿔서 직선의 방정식으로 나타내야함

- x+y=k 의 기울기는 -1, y절편은 k 인 직선이고 문제에서 제공되는 연립부등식의 기울기는 각각 -1/2, -2 임으로 두 연립부등식의 교점을 지나는 x+y=k의 값이 최대값이 됨.

- 해당 교점을 구해서 위 식에 대입하면 k(최대값)을 구할 수 있음

- 위 부등식의 영역_일차식의 최대,최소 구하기를 이용하여 풀 수 있는 예시 문제

- 제품 A,B 를 x,y 로 두고 각각 8x+3y≤17 / 3x+2y≤9 두개의 부등식을 구한 뒤 x,y 는 각각 제품 개수이니 0보다 크다는 조건까지 만들어 줌.

- 이때, 최대 이익을 구하려면 2x+y 의 값을 구해야하는데 이거를 2x+y=k 로 고쳐서 직선의 방정식 형태로 만들어줌, 이때 기울기는 -2, y절편은 k가 됨

- 위에 만들어둔 두개의 부등식의 기울기는 각각 -3/2, -8/3 이라서 -2의 사이이기 때문에 두 부등식의 교점을 지나는 값을 대입했을 때가 최댓값이 되어서 두 부등식을 연립방정식으로 풀어서 교점을 구해준 뒤 2x+y 에 대입해주면 끝!

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- x, y 각각 절대값이 붙어있으며 둘 사이가 + 로 이뤄져있으면 좌표평면 위에 나타냈을 때 마름모 꼴로 그려짐.

- x+y=2 의 직선을 좌표평면위에 그려준 뒤 양수인 경우만 남겨놓고 x축, y축으로 한번씩 대칭시키면 마름모가 됨 / x절편, y절편을 표시해놓고 서로 이어주는 방법도 있음

- 둘 사이가 - 로 이뤄져있으면 마름모가 아니니 주의할 것

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도형의 방정식(해석기하) 끝!!

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